规律方法与技巧新课标——数学

规律方法技巧

集合

  1.几个重要结论：

①A∩B＝AAB．②A∪B＝ABA. ③ＣU(ＣUA)=A．

*④(ＣUA)∪(ＣUB)=ＣU(A∩B).*⑤(ＣUA)∩(ＣUB)=ＣU(A∪B).

⑥n个元素的集合的子集数为2n1，真子集数为2n1个.

  *2.集合的元素个数公式:Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)Card(A∩B).

函    数

1. 求定义域的方法:

  ①运算要求(分母不等于零,负数不能开偶次方根,零次幂的底数不能为零)

  ②函数本身要求:指数函数,对数函数,正切函数,余切函数; ③实际意义

  ④复合函数的定义域是构成复合函数的各基本函数的定义域的交集.

  ⑤含参数的函数的定义域一般要进行分类讨论.

2. 求函数的解析式：
   ①配方；②变量替换；③待定系数法；④解方程

⑤从实际问题中求得；⑥利用函数的性质；⑦抽象函数赋值法.

  注:解函数问题时,一定要在定义域内研究,否则会产生增解等问题.

3. 求值域(最值)的方法:

  ①观察法;*②逆求法，形如y=一般可用逆求法;

③二次函数的配方法

A.当自变量在某一个区间[a,b]上取值时,其最值只能在端点处或顶点处取到.

　B.当二次函数的一次项或二次项含有参数时，且x[a,b]，一般要配方、讨论求其最值.

  ④不等式法   ⑤有界性法：如三角函数有界性等 　

⑥利用函数的单调性：如y=+(ac>0)可用单调性.

⑦换元法，形如y=ax+b+可用换元法，如果a、c同号时，还可用函数的单调性.

⑧求导法   ⑨数形结合，*⑩判别式.

注：求最值时,如用其它方法无法处理时,可以考虑用导数求之.

4.    单调性
     (1)判断函数的单调性

  ①作图法—基本初等函数

  ②分解法—函数是由若干个基本函数复合而成,在某区间上,若这些基本函数中减函数的个数为奇数时,则原复合函数是减函数,若这些基本函数中减函数的个数为偶数时,则原复合函数是增函数,形如y=af(x),y=logaf(x),y=,y=Asinf(x),y=Acosf(x),y=Atanf(x)用此法

  ③应用性质；如f(x)与f(x)的单调性相反，f(x)与(f(x)>0)的单调性相反，y=f(x)与y=af(x)+b(a>0)的单调性相同,f(x)与g(x)同增(或同减)，则f(x)+g(x)也增(或减)，两个正值递增(减)函数的积仍然是递增(减)函数，两个负值递增(减)函数的积是递减(增)函数．

④定义法—利用函数单调性的定义

  ⅰ.任取x1,x2D,x1<x2,

  ⅱ.比较f(x1)与f(x2)的大小做差(分解因式到不能分解且各因式正负明显)或作商． 

ⅲ.结论．

  ⑤求导法.

(2)单调性的作用：①解(证)不等式；②确定函数的值域(最值)，③比较大小．

注：去函数号唯一的办法是单调性.

(3)结论:

①函数y=x+在(0,a],[a,0)上是减函数,在[a,+∞),(∞.a]上增函数.

②单调函数在其子区间上仍具有相同的单调性．

5. 两数比较大小方法:

①利用函数的单调性; ②作差法；③作商法； ④与同一个数比较大小；⑤图象法．

6. 函数奇偶性

(1)判断函数的奇偶性
①看函数的定义域是否关于原点对称(奇偶函数的定义域一定关于原点对称)
②适当变形使函数变成最简形式.　③f(x)=f(x)?或f(x)f(x)＝0?　④结论.

(2)有关函数奇偶性的结论:

  ①奇函数在关于原点对称的区间上增减性相同，奇函数如f(0)存在，则f(0)=0.

  ②偶函数在关于原点对称的区间上增减性相反，f(x)=f(x)=f(|x|).

　③既奇又偶的函数只有y=0(定义域关于原点对称)．

7. 作图方法:

  ①列表描点法——确定定义域,化简解析式,讨论性质,列表描点.

  ②利用已知函数的图象,通过平移、对称、伸缩变换而得到.

  已知f(x)可变换得到下列函数的图象:

  ⅰ.y=f(x)与y=f(x)关于y轴对称     ⅱ. y=f(x)与y=f(x)关于x轴对称

  ⅲ.y=f(x)与y=f(x)关于原点轴对称 ⅳ. 原函数与它的反函数图象关于y=x对称

  ⅴ.y=f(x+a)可由y=f(x)向左右平移|a|个单位(a>0向左移a<0向右移)得到

  ⅵ.y=f(x)+a可由y=f(x)向上下平移|a|个单位(a>0向上移a<0向下移)得到

  ⅶ.y=|f(x)|可把y=f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到.

  ⅷ.y=f(|x|)可把y=f(x)的图象在y轴右侧的部分翻折到y轴左侧得到左侧图象，由y轴左右两侧的图象合起来就是y=f(|x|)的图象.

8. 周期与对称

①f(x+a)=f(xa)f(x)=f(x2a);则y=f(x)是以2a为周期的周期函数,

若f(x+a)=－f(x)+b或f(x+a)＝,或f(x+a)=－,则f(x)是以2a为周期的周期函数.

(2)若f(a+x)=f(ax)f(x)=f(2ax)成立,则y=f(x)的图象关于x=a对称,若f(a+x)=f(bx),则f(x)的图象关于x=对称(记忆方法:对称轴为括号内两数和÷2).

若f(2ax)+f(+x)=0f(a+x)+f(ax)=0,则f(x)的图象关于(a,0)对称,若f(a+x)+f(bx)=0,则f(x)的图象关于(,0)对称,若f(a+x)+f(bx)=c,则f(x)的图像关于(,),若f(a+x)+f(ax)=2b成立(a,b为常数)，则函数f(x)图像关于点(a,b)对称(记忆方法：左边括号内两数和÷2为横坐标，右边常数÷2为纵坐标)．

(3)y=f(ax)与y=f(a+x)的图像关于x=0对称，y=f(ax)与y=f(a+x)的图像关于(0,0)对称，y=f(x)与y=f(2ax)的图像关于x=a对称.

9. 换底公式推论:①=logab, ②logab=.

  注:解关于含对数的方程时,解完后要进行验根.

10. 二次方程(或不等式)中含有参数时，要求参数的取值范围，有下列情形：

  ①当解在R上时，用判别式或二次项系数解决；

②当解为正数、负数或零时,常用韦达定理和判别式解决问题

  ③当解限定在某个小区间上时,要借助二次函数的图象,利用函数的端点值、顶点值、对称轴与判别式来综合解决问题(即二次函数根的分布问题).

11. 对于含两个未知数的函数(不等式)，已知一个未知数的取值范围，求另一个未知数的取值范围，常把给定范围的那个未知数作为主变量，另一个求知数作参数．
12. 零点的判定方法：

①图象法；②根的存在定理；③借助导数(单调性与极值）．

13. 函数不等式涉及到的几种题型：
①对任意x∈[a,b],都有f(x)≤g(x)成立x∈[a,b]时,h (x)=g(x)f(x)≥0恒成立h(x)min≥0.
②存在x∈[a,b],使f(x)≤g(x)成立x∈[a,b]时，h (x)=g(x)f(x))≥0有解h (x) max≥0．
③对任意x1,x2∈[a,b] ,都有f(x1)≤g(x2)成立x∈[a,b]时，f(x)max≤g (x)min．
④对于任意x1∈[a,b],总存在x2∈[a,b] ,使得g(x2) =f(x1)成立 x∈[a,b]时，f (x)的值域

是g (x)的值域的子集．

⑤任意x1∈[a,b],总存在x2∈[a,b] ,使得f(x1) ³g(x2)成立f(x) min≥g(x)min．

⑥ x1∈[a,b]， x2∈[c,d],f(x1)=g(x2) f(x)的值域与g(x)的值域交集不为空.

立体几何

一．直线与平面

1.平面是无限延伸的——平面把空间分成两部分,要从一侧到另一侧必须穿过平面.

*2.证明元素共面: 先让某些元素确定一个平面，再证明其它元素也在这个平面内.

*3.证明点共线:用公理3证明所有点都是某两个平面的公共点即可.

*4.证明直线共点:先证明两条直线交于一点,再证明交点是确定第三条直线的那两个平面的公共点即可.

5.求异面直线所成的角:

①首先看两异面直线是否垂直，若不垂直，可在一条异面直线上取一个特殊点(往往是端点,偶尔也取中点等),作另一异面直线的平行线,把所夹角放入三角形中,解三角形即得．如所解的角为钝角,则取其补角；

②求两异面直线方向向量的夹角．

6.证明两条直线平行方法:

    ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；

  ②平行于同一条直线的两条直线互相平行；

③如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

④两直线的方向向量平行．

7.证明两条直线垂直的方法:

①线面垂直的定义: 只要证明一条直线垂直于另一条所在的平面;

②两直线相交时用平几知识;

③两直线的方向向量垂直．

    8.证明直线与平面平行的方法:

    ①如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;

②如果两个平面平行，那么一个平面内的直线平行于另一个平面;

③证明直线与平面的法向量垂直．

9.证明直线与平面垂直的方法:

①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直(包括向量方法)，那么这条直线垂直于这个平面;

②如果两个平面垂直，那么在其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

③直线的方向向量与平面的法向量垂直．

    *10.求点到平面的距离的方法:

①按定义求:由点向平面作垂线,求该点到垂足的距离;②体积法；

③用公式d=．

11.判定点在平面上射影的位置方法:

经过点有一个平面与已知平面垂直，那么该点在平面上的射影在两个平面的交线上.

12.求斜线与平面所成的角的方法:

①在斜线上取一特殊点,由该点向平面作垂线,作射影,解直角三角形即得;

②用公式sin=||,(0,)．

13.证明两个平面平行的方法:

①如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

②证明两个平面的法向量共线．

14.证明两个平面垂直的方法:

①一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直．

②证明两个平面的法向量垂直．

15.求二面角的方法:

①在二面角的两个面内分别取两个特殊点，向棱作垂线(注：只有当两垂足重合时，方可采用这种方法），并将所作的角放在一个三角形中，解三角形求之;

②求两个平面法向量的夹角或夹角的补角．

二.简单多面体:

1.求体积的方法:

(1)代公式(对于三棱锥常用换顶点或转化);(2)割补法;(3)相减法．

2.求几何体(除球)表面上两点间的最小距离:

一般要把相应几何体的表面展开成平面图形,应用平面几何知识求这两点之间的直线距离.当所走的途径不唯一时,要把每一种途径中的最小距离求出,然后取所有最小距离中的最小者就是所求.

3.由旋转体与旋转体构成的内组合问题,常常取其轴截面来解决问题.

4.圆锥侧面展开图的圆心角的公式为=2,圆台=2．

三.特别提醒

1.求线段长的方法:

①放在一个三角形中解三角形求之；②放在一个方程中解方程求之,

2.求最值的方法:

①几何法(难想易做)应用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,直线段最短等等;

②代数法(常用方法)转化成函数式,用代数方法求之;

③数形结合．

3.关于折叠问题应把握两点:

①把折叠前后的图形都画出来；②搞清折叠前后不变的条件．

4.无限图形问题常截成有限图形来解决.

5.求等腰三角形、等腰梯形一腰上的高或直角三角形斜边上的高时,用面积法较简便.

6.计算题的步骤:

(1)作(或找)图;  (2)证明所作(或找)图就是所求; (3)计算.

7．已知线线垂直线面垂直面面垂直；已知线线平行线面平行面面平行；

统计

1．由频率分布直方图求方差：

每个小矩形的组中值减去平均数的平方乘以小矩形的面积，再相加．

2．公式b＝＝如何用？

前部适用于数字大或数字相近，后者适用于数字小且少的情形．

3．二项分布需要满足的条件：

①x的取值必须是0,1,2,…,n；②概率为Cpi(1p)ni(i=0,1,…,n)．

直线与圆

  1.点斜式,两点式,斜截式,截距式方程应用时,要对殊情况进行讨论,否则有可能丢根.

  2.直线系:具有某一共同性质的直线的集合.

  (1)过定点(x0,y0)直线系:yy0=k(xx0)．

  *(2)过A1x+b1y+c1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系:

    A1x+b1y+c1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)．

  (3)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系: Ax＋By＋m＝0；

    与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系: Bx  Ay＋n＝0．

  注意:用直线系yy0=k(xx0)与L1+L2=0时,要注意对直线系中所丢失的直线进行验证.

　(4)直线y=kx+b(不包括x轴)与直线x=my+a(不包括y轴)的区别与用法

  3.求直线方程时:

  (1)确定直线的条件都给定时,选取由这些条件所确定的直线方程

  (2)给定确定直线的一个条件时,常选与这个条件有关的直线方程,但尽量选取参数少的那种直线方程.

  (3)题中没有直接给定确定直线的任何一个条件,但给出的条件与确定直线的某两个条件有间接关系,这时常选与这两个条件有关的直线方程来解决问题

  4.解析法的步骤: (1)建立坐标系;(2)设点的坐标; (3)推证(算).

5.应用两直线平行、垂直、相交、重合的条件,既要考虑一般情况也要验证特殊情况．

  6.对称问题:

  ①点(x0,y0)关于x轴对称的点为(x0,y0);点(x0,y0)关于y轴对称的点为(x0, y0); 点(x0,y0)关于原点轴对称的点为(x0,y0).

  ②点(x0,y0)关于y=x轴对称的点为(y0,x0);点(x0,y0)关于y=x轴对称的点为(y0, x0).

　③用x代方程中的y，同时用y代方程中的x方程不变，则曲线自身关于y=x对称；用x代方程中的y，同时用y代方程中的x方程不变，则曲线自身关于y=x对称.

  ④求已知点P(a,b)关于直线l:Ax＋By＋C＝0的对称点Q(m,n)时,应建立的方程为

  7.方程:x2＋y2＋Dx＋Ey－F＝0表示的曲线可能是:①圆, ②点, ③无轨迹.

  8.以(x1,y1),(x2,y2)为直径的圆方程为:(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0.

  9.两相交圆公共弦所在线的方程:(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0.

  *10.圆系:

  ①过园C1与C2交点的圆系:C1+λC2=0(λ≠1) (不包括圆C2),

  ②过直线l与园c交点的圆系:c+λl=0.

11.求圆的方程时:当已知条件与圆心和半径有直接关系时,常用圆的标准方程,否则用一般式．

  12．判定点圆、线圆与圆圆位置关系时，用平面几何中的判定方法较为简单．

13．OPOQx1x2+y1y2=0(适用于整个圆锥曲线)．

14．减少参数：涉及点在直线上时，用一个坐标表示点，减少参数可简化运算．

15．直线与圆的问题，要特别注意平面几何知识的应用．如圆中半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形．

圆锥曲线

1.求曲线方程的方法:

  ①直接法—当题中有或能找到几何等式时常用此法,它的步骤是:(1)建立坐标系;(2)写出符合条件的动点的集合;(3)把集合中的几何等式换成代数式;(4)化简;(5)讨论纯粹性；

    定义法—当①中的几何等式正好符合圆锥曲线的定义时，可用定义和圆锥方程直接求得曲线方程；

  ②待定系数法—已知曲线求方程常用此法,具体步骤是:(1)设方程;(2)列方程(组);(3)解方程(组);(4)代方程；

  ③相关点法—所求曲线上的动点随另一个动点(称为相关点)的运动而运动,相关点所满足的条件是明显的或可求出,这时只要把相关点的坐标用动点坐标表示出来,代入相关点所满足的条件化简(讨论纯粹性)即可；

④参数法—所求曲线上的动点随某一变量(如斜率,角,时间,数量,距离等)的变化而变化,这时只要把这个变量选为参数,然后把动点坐标用参数表示之,消参(讨论纯粹性)即得.

  2.建立坐标系的原则:

①尽可能把已知点往坐标轴上放;  ②尽量少设参数

  所以,图中有对称中心时,常选该点为坐标原点,图中有对称轴,常选该对称轴为坐标轴,图中有互相垂直的线段,常选该线段所在直线为两坐标轴,对无以上特征的图形,常选图形中某一线段的端点或中点为原点,该线段所在直线为一条坐标轴.

  *3.椭圆的焦半径公式:|PF1|=a+ex,|PF2|=aex(|PF1|=a+ey,|PF2|=aey)

  4.以  =0为渐近线的双曲线方程可设为  =(0)

  6.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦长公式:|AB|= .y1y2=p2.

  *7.椭圆上点P与两焦点构成的三角形面积为S＝b2tan(双曲线也如此)．

  8.椭圆、双曲线的通径长．

  椭圆、双曲线、抛物线过焦点的弦中，通径最短.

  9.解析几何解题的总原则:

  ①平面几何知识的应用；

②尽量避免用求根公式解含参数的一元二次方程或解二元二次方程组,而是采用违达定理、判别式、正余弦定理等手段来解决问题.

  ③在解题时,尽量先运用一些已知条件,往往可以减少参数的个数,从而简化运算.

  10. OAOBx1x2+y1y2=0.

  11.二次曲线弦的中点可以确定弦的斜率（也叫点差法）．

  12.椭圆,双曲线,抛物线定义的应用:

凡是题目中涉及到二次曲线的焦半径、焦点弦等条件时,可以考虑运用它们的定义.

  13.直线与圆锥曲线相交时，要考虑到≥0．

  14.解解析几何题时如何出现不等式?

  (1)利用曲线本身自变量的取值范围；   

(2)利用判别式；

  (3)运算要求，如k2≥0.

*(4)利用点在二次曲线内部或在外部所满足的条件.

15.弦长公式：|AB|==．

三角函数

1．与终边共线的角为：k180+或k180+180+(kZ)

  2．特殊角的三角函数值：

  3．诱导公式：±(kZ)中：k为奇数时，函数要变名称，k为偶数时函数名称不变，符号看原函数原角所在的象限的符号.

  +=90时，sin=cos,sin=cos.

  4．求任意角三角函数值的步骤:负角正角[0,2)[0,] 求值.

  5．熟练应用勾股数3,4,5；5,12,13；7,24,25进行计算求值.

6．公式的变用:

1+tan2=，(sincos)2=12sincos;

  tantan=tan(+)(1tantan)；cos2=(1+cos2)，sin2=(1cos2)．

  7．三角恒等式的证明方法

  ①左右互推(从繁到简), ②分析法, ③综合法, ④比较法.

  8．三角运算应遵循的原则：

  同名(函数名称尽量少,切化弦)、同角(角尽量少,单角)、同次(次数尽量低)

  9．三角运算的技巧:

  ①辅助角公式；  ②高次降低次；

  ③角的灵活变换,如2=++等;④尽可能不含根号;

  ⑤当=时，可以通过诱导公式使与之间进行转化；

  ⑥1=sin2+cos2或1=an45公式的灵活应用;

  ⑦切化弦;⑧有分数时，分母要简单或相同；

  ⑨平方后进行和差积商运算,如sin+cos=a,cos+sin=b,求+.

⑩整体思想．

　10．重要结论：

  ①|asinxbcosx|≤,  ②|sinx·cosx|≤,  ③|sinx|+|cosx|≥1

  *④若x(0 ,),则sinx<x<tanx或1≤sinx+cosx≤；⑤a·sinx+b·cosx=sin(x+)

  11．三种题型:

  ①齐次式(显形、隐形和变形），②sincos与sincos知一求二.

  ③角成等比数列(公比为2)的余弦积,分子分母同乘以最小角的正弦的2n(n为余弦的个数)倍,再用正弦的二倍角公式,最后约分求得结果.

  12．角范围的确定：①已知角范围；②已知的三角函数值；③代入已知验证．

三角函数图象及性质

一．正余弦函数

  1．正弦函数图象的画法:

  ①描点法（即五点法），②利用正弦线．

  2．周期

  ①若T是函数f(x)的周期,则nT(nZ)仍然是f(x)的周期．

  ②若f(x)是周期函数,则kf(x)+c,|f(x)|,仍是周期函数.

　3．y=sinx的对称轴为k+,y=cosx的对称轴为k;

  y=sinx或y=cosx的对称中心为曲线与x轴的交点．

二.正切函数:

  1．正切函数y＝tanx的图象画法

  ①作图法；②利用正切线．

　2．对称中心为(，0)，kZ．

三.y=Asin(x+)、y=Acos(x+)、y=Atan(x+)

  1.作图:①描点法②伸缩平移变换

  2.周期：T＝（正切T=）

  3.研究y=Asin(x+)、y=Acos(x+)、y=Atan(x+)的有关性质时，常把x＋看作函数y=sinx(y=cosx、y=tanx)中的x进行处理.

五.规律方法技巧:

  1.求三角函数周期的方法:

①用公式或求之；②利用图象求之.

  2.研究三角函数性质时：

对于周期性、单调性、对称和作图,一般要化成同名、同角、一次函数进行研究；值域或最值一般要化为同名同角解决；而定义域、奇偶性和解析式有时要化成同名同角一次函数，有时只要适当化简即可.

  3.三角函数的最值：

  ①y=a·sinx+b——利用三角函数的值域; 

②y=a·cosx+bsinx——转化成同名函数；

  ③y=a·cos2x+b·cosx+c ——二次函数极值；

  *④y=或y=(xR)——化为sin(x+)=y形式,然后利用|y|≤1求之．

  4.比较同名三角函数值的大小步骤:

  ①把角化成为0～360范围内的角；

  ②比较两个角的大小；

  ③确定角所在象限其三角函数的增减性,然后进行比较.

  5.对称的处理办法：①与对称等距离的函数值相等；②对称轴处取得最值

  6.正弦、余弦不等式,用单位圆来解,效果更好.

向    量

一.     向量结论

1．若、不共线，则+＝0的充要条件是＝＝0.

2．若G为ABC的重心，则＋＋＝．

     ΔABC的重心坐标公式：x=(x1+x2+x3),y=(y1+y2+y3)．

二．向量平行:

  1.向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使＝λ.

2.设＝(x1,y1,z1),＝(x2,y2,z2),则∥(0)的充要条件是==．

3.若＝+，则P、A、B共线的充要条件是+＝1．

三．向量垂直:

  1.向量垂直：如果非零向量与的夹角是90°,则说与垂直,记⊥．

2.判定:①⊥·＝0;②设＝(x1,y1,z1),＝(x2,y2,z2),则x1x2＋y1y2＋z1z2=0．

四．方法：

  1．研究向量的方法：

几何法先选基底，再用基底表示相关向量，然后用向量知识进行运算；

坐标法先建立直角坐标系，设点坐标，表示相关向量，进行运算.

2．模的处理方法：①平方；②借助平面几何知识.

3．向量的运算技巧：一般是先进行几何运算，再代入坐标.

4．在方向上的投影计算：①||cos<,>;②．

5．已知向量等式，如何应用通过向量允许的知识(如平方、乘同一个数、乘同一个向量或化简等手段)进行运算，使其有明显的几何意义(平行、垂直或求得夹角).

解斜三角形

  1.正弦定理:===2R=.

  2.正弦定理的应用：

  ①已知两角和任意一边，可求其它两边和一角.

  ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和另外两个角.

  ③边角转化：等式两边(或不等式两边或分数的分子与分母)为同类齐次时,或已知外接圆半径R时，可进行边角转化.

  3.余弦定理: a2=b2+c22bccosA, cosA=．

  4.余弦定理的应用：

  ①已知三边，可求其它各角.

  ②已知两边和它们的夹角,求第三边和另外两个角．

  ③边角转化．

  结论：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．

  5.三角形面积公式:

S=ah=absinc=rp==.

  6.在ABC中,由于A+B=180C, =90

  ∴sin(A+B)=sinC, sin=cos, cos=sin.对调其它角也有类似的结论.

  7.判断三角形形状时，一般有两种途径：

①利用正余弦定理转化成边的关系，最后化为a2+b2=c2,a=b等类型;

②利用正余弦定理转化成角的关系，最后化为sinC=1,simA=cosB,sinA=sinB,积=0型等．

8. 解三角形问题的技巧：

①化二归一(已知条件要么化边，要么化角)；

②减少参数；③注意平面几何知识的应用．

数    列

一．数列概念及通项

  1、求数列通项的方法：

  ①公式法.②观察法.

  ③已知前n项的和Sn,求an时，an=(必要时请分类讨论).

    已知前n项的积Vn, 求an时，an=.

  ④利用递推关系an=f(a1,a2,…an1):逐差求和,逐商求积,待定系数法.

  对于anan1=f(n)时，常用逐差求和法求数列的通项公式.

  *对于an+an1=f(n)时，等式两边同乘(1)n得(1)n an(1)n1an1=1)n f(n),然后叠加．

  对于=f(n)时，常用逐商求积法求数列的通项公式.

　⑤形如an+1=pan+q(p≠1)型的数列，可设an+1＋A=p(an+A),利用待定系数法求得A，使{an+A}成等比数列.

　*⑥形如an=,利用取倒数的关系，可转化为⑤的情形；

　　形如an=,利用取倒数的关系，可转化为④的情形．

*⑦形如an+1=pan+q(n)(p≠1)型的数列，两边同除以pn+1,得 =+,令＝bn,则上式变为bn+1=bn+q(n),以下同④．

或在an=pan1+q(n1)的等式两边同乘以p,p2,…，再采用逐差相加的办法．

*⑧形如an+1=panp(p>0,an>0)的递归式,两边取对数有lgan+1=lgp+qlgan,令bn=lgan,则bn+1=qbn+lgp,仿⑤得bn,再求an.

注：对于有an与Sn的关系式，可通过an=SnSn1或转化为an与an1的递推关系，或转化为Sn与Sn1的递推关系后加以解决．

2、求数列项的最值的方法：

①利用数列的单调性；*②利用或求an的最值．

除以上方法外还可考虑函数求最值的方法．

二．等差数列(anan1=d(n≥2))

1.an=am+(n－m)d，Sm+n=Sm+Sn+mnd．.

  2. 数列{an}成为等差数列的充要条件:

  ①anan1=常数; ②2an+1=an+an+2;  ③an=kn+b;  ④Sn=pn2+qn．

  3.序号成等差数列的项仍成等差数列.

  4.从第二项起每一项是与它等距离的前后两项的等差中项.

5.若序号和相等,则对应项的和也相等.即若l+k=m+n,则al+ak=am+an.

  6.等差数列的和差仍成等差数列.

  7.在等差数列中,有规律的项的和一般成等差数列.如Sn,S2n－Sn,S3nS2n,….

  8.a1,d,n,an,Sn知三求二.

  9.三个数成等差数列,可设为:ad,a,a+d,四个数成等差数列可设为:a3d,ad,a+d,a+3d,其余类推（适用于和为定值）.

三.等比数列(an+1:an=q(n≥1,q≠0))

  1. an=amqnm. Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm．

  2.非零数列{an}成为等比数列的充要条件:

  ①=非零常数.②a2n=an1an+1,③an=aqn1．④Sn=a(1qn)(q≠1)．

  3.序号成等差数列的项成等比数列.

  4.从第二项起每一项是与它等距离的前后两项的等比中项.

  5.若序号和相等,则它们的对应项的积也相等.即若l+k=m+n,则al·ak=am·an.

  6.等比数列的积商仍成等比数列.

  7.在等比数列中,有规律的项的和一般成等比数列.如Sn,S2n－Sn,S3nS2n,….( Sn≠0)

  8.a1,q,n,an,Sn知三求二.

  9.三个数成等比数列,可设为,a,aq, 四个数成等比数列可设为,,aq,aq3(必须是同号数列),其余类推（适用于积为定值）.

  注：(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{}(总有意义)必成等比数列.

(2)如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a>0,a≠1}必成等差数列.

四.数列求和

  1.常用数列的前n项和公式:

1+3+5+…+(2n1)=n2; 1+2+3+…+n=n(n+1); 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)．

2.数列求和常用方法:

(1)公式法(等差数列,等比数列)      

(2)并项求法(a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=d)

  (3)分组求和法(如求:1+3+……+(2n1))

  (4)裂项求和法(由两数相乘倒数和问题常用此方法解决,

常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①=．②=()．③=．

④=[]．⑤=()；

⑥nn!=(n+1)!n! ．⑦an=SnSn1(n≥2)．

  (5)错位相减法(由等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列用此法)

  对于不能应用以上方法解决的数列,常对数列的通项进行研究处理.

不等式

1．比较两数大小的方法：

  (1)做差法——做差——变形(分解因式或配方)——判断差式的正负.

  (2)做商法——作商——变形——判断(大于或小于1)常用指数函数的性质.

2.均值不等式或基本不等式:

  (1)由ab≤()2、ab≤可求ab的最大值,由a+b≥2可求a+b的最小值,由()2≤可求a+b或a2+b2的最大或最小值.

  (2)用均值不等式求最值时要满足：一正,二定,三相等．

  (3)形如y=的函数,一般可用均值不等式求其最值,或转化为对勾函数运用函数的单调性.

(4)有条件的最值问题的处理方法：

①巧用1乘转化为基本不等式；②利用基本不等式转化成解不等式处理；③用一个未知数表示所求和不等式，然后再用基本不等式求最值.

(5)对于函数y=f(x),当y>0时,y、y2、同时取到最大值或最小值.需要时可先求其中之一,最后进行逆运算.

  (6)不等式的恒成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)min>A．

若不等式f(x)<B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)max<B．

线性规划解决的四类问题：

①截距z=ax+by；②斜率z=；③点点距z=(xa)2+(yb)2；*④点线距z=|Ax+By+c|

3.解不等式:

  (1)一元二次不等式解法:

①分解因式法：(xx小)(xx大)<0(>0) x小<x< x大(x>x大或x<x小)．

②图象法：借助二次函数的图象与判别式．

(2)分式不等式解法：

>0(<0)转化为f(x)g(x)>0(<0)后求解．

注：解分式不等式>a(a≠0)的一般解题思路是移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为1，再用(1)中方法求解．

  (3)含绝对值的不等式的解法:

  ①去绝对号——取零点,分段去绝对号,解不等式取交集,最后取并集

  ②定理:|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x)f(x)<g(x)或f(x)>g(x).应用本定理解之.

  ③平方—不等式两边都含有绝对号或根号时学常用此法.

  (4)指数对数不等式：

  ①指数af(x)>ag(x)不等式

  当a>1时，f(x)>g(x),  当0<a<1时, f(x)<g(x)

  ②对数logaf(x)>logag(x)不等式

  当a>1时，, 当0<a<1时,

  (5)|a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|,左等号成立的充要条件是(a+b)b≤0，右等号成立的充要条件是ab≥0;

   |a||b|≤|ab|≤|a|+|b|,左等号成立的充要条件是(ab)b≥0，右等号成立的充要条件是ab≤0.

(6)含参数的不等式——一般要进行讨论.

逻辑关联词

1.一些词语的否定:

  正面词语: 都是    任意两个  所有的  任意的  至多n个     p或q

  否定词语: 不都是  某两个    某些    某个    至少n+1个  p且q

2.写非P时要注意两点：

①必须与真值表一致；②整体理解题意，根据题意否定．

3.反证法

(1)反证法证题的一般步骤：

  ①否定结论  ②正确推理  ③得出矛盾  ④肯定结论.

  (2)何时用反证法:

  当给定的条件比较少,或正面下手不易,而问题的反面比较容易解决,这时可考虑反证法.下列情况常用反证法:

  ①唯一性命题, ②否定性命题, ③无限性问题，④无理数问题.．

  (3)反证法的矛盾:

  ①与已知矛盾②与假设矛盾③与定义矛盾④与正确结论矛盾⑤自相矛盾.

  (4)如果用反证法证明的命题是一种分类中的一类，只有对其它各类都推出矛盾，加以否定，才能说明原命题是正确的．

　4．判断充要条件的方法：

①定义法；②集合法；③转化为等价命题(即逆否法)．

导数与积分

1．定义：==f(x0)．

2．求导数时，要注意适当变形，一般来说和差的导数比积商的导数简单，所以要尽量把积商的形式转化为和差的形式.

3．非常规函数的单调性与最值问题，要通过导数解决.

4．用导数解决实际问题时，要注意定义域的限定，并注意开区间上的唯一极值(单峰函数)一定是最值．

5．经验：把给定区间端点（或中间某点）代入题面所给的不等式中，发现两边的数字恰好是一样的，考虑不分参去做；如果端点代进去，发现左右两边等号取不到，这时可以大胆尝试分参去做。

6．常用导数不等式:

(1)ex≥x+1(ex≥ex, ex>x), ex≤(x≤0),ex<(x<0),ex≥1+x+(x>0),ex≥1+x++;

(2)1≤lnx≤x1(ln(x+1)≤x,ln(x+1)≥);

(3)lnx<x<ex(0<x),exlnx≥(x+1)(x1)=2;

(4)x>1时,<lnx<(x)；0<x<1时,(x)<lnx<;

(5)lnx≤x2x,ln(1+x)≤xx2(1<x<0),ln(1+x)≥xx2(x>0);

(6)lnx>(x>1),lnx<(0<x<1), ln(x+1)>(x>0),ln(x+1)<(x<0);

(7)sinx<x<tanx(x>0),sinx≥xx2, 1x2≤cosx≤1sin2x;

(8)以直线y=x1为切线的函数：y=lnx,y=ex11,y=x2x,y=1,y=xlnx.

7．构造函数：

(1)对于f′(x)g′(x),构造h(x)=f(x)g(x),特别f′(x)a,构造h(x)=f(x)ax;

(2)对于f′(x)+g′(x),构造h(x)=f(x)+g(x);

(3)对于f′(x)+f(x),构造h(x)=exf(x)，对于f (x)+2f′(x),构造h(x)=e2xf(x);

(4)对于f′(x)f(x),构造h(x)=，对于f(x)2f′(x),构造h(x)=；

(5)对于xf′(x)+nf(x),构造h(x)=xnf(x);

(6)对于xf′(x)f(x),构造h(x)=;

(7)对于>0,若f(x)>0,构造h(x)=lnf(x);若f(x)<0,构造h(x)=ln[f(x)].

8．用积分求面积：S=[f上(x)f下(x)]dx=[f右(y)f左(y)]dy．

复  数

1.复数z成为纯虚数的充要条件a=0,b≠0,或(z≠0)z+=0.

2.重要结论：(1i)2=2i．=i,=i．*(i)3=1．

排列与组合二项式定理及概率

1. 解决排列组合问题的常用策略：

①特殊元素或特殊位置优先安排；

②相邻问题:先让相邻元素排列,再把相邻元素看成整体与其它元素排列.

不相邻问题:先排其它元素,再把不相邻的元素插进去.

③排列组合混合题要先选（组合）后排；

④顺序一定问题除法处理；

⑤正难则反，合理转化；

⑥均匀分组，组与组之间无顺序要除组数的阶乘，如有顺序则不除；

⑦无区别的元素可以考虑隔板法；

⑧无序问题一次取出，不要分开多次取；

⑨分排问题直排处理；

⑩“小集团”排列问题中先整体后局部

*2．二项式定理的作用：

①证明或求组合恒等式；②证明整除；③近似计算；④证明不等式．

5.①2n= C+ C+…+ C+…+C,

②C+ C +…=C +C+…=2n1,

6.等可能事件的概率:P(A)=．

7.解概率题应遵循的原则：

①分子分母顺序的一致性(即同排列、同组合)；

②分子分母取数的一致性(即分子分母取数个数相等)。

综合部分

　1．形如y=或y＝函数，可通过分子加减同一常数，使分子的x或x2去掉，从而简化运算.

  2．由f(x)=g(x)=h(x)=…=z(x)(n个等号),可列n个方程，多于n个将会出现同解方程.

4．在解题过程中，如果求得两个以上的值(解)，这时应该考虑是否有不符合条件的的值(解),进行验证取舍.

5．当方程的个数少于未知数的个数时，一般采用整体思想或把一些未知数用尽量少的其它未知数表示之，代入已知条件去解.

6．在求面积或体积时，既要考虑面积或体积公式的选择，又要考虑对其形状的的处理(如分割、相减、割补).

  7.形如、g(x)、g(x)，要首先考虑有理化，使之变为

＋、＋g(x)、g(x)＋形式，再进行处理.

8．从不等式中求值的方法有三：

①(xa)2≤0x=a;②x=a．

③a<x<b(a≤x≤b)且xZ或xN*,可求x,如多于一个，可进行验证．

9．证明与正整数n有关的不等式时，可优先考虑：数学归纳法、二项式定理、放缩法.

10．x2+x+1>0,x2x+1>0.x12x1x2+x22≥0对于任意实数恒成立.

11．角平分线应想到：①角相等；②距离相等；③对称．

12．xR,a>f(x)恒成立a>f(x)max; xR,a<f(x)恒成立a<f(x)min．

注：对于恒成立问题，可转化为上述最值问题，如果是二次不等式，还可以考虑二次函数根的分布去研究.

13．数学运算的总原则：

①尽量减少参数(或减少未知数出现的频数)；

②有根号(绝对号)要去根号(绝对号)；

③分母要简单且相同；

④高级运算转化为低级运算;

⑤高次向低次转化；

⑥正难则反．

14.解应用问题时要注意几点:

①最后结果要根据要求给出;②一般要答;③单位及一致．

15．解数学题的步骤：一易错点、二性质、三化简、四做题．

常见错误提示

必修一

1．在集合中解子集问题时，一定要注意空集和等集．

2．集合运算时，对于端点或能否取得等号，要特殊验证，决定取舍．一般地，对于特殊点(或线)，一定要特殊讨论．

3．研究集合时，要注意集合的互异性．

4．集合必须加{ }或写成区间（特别是定义域与值域）．

5．对于一元二次三项式方程(函数、不等式)，当二次项系数含有参数时，要对其是否等于0进行讨论，其它方程也是如此．

6．研究函数问题时，一定注意定义域优先(特殊是对数函数和实际应用题)．

7．函数的单调区间之间不能用“∪”，而用“，”分开，不在定义域内的端点，不能包括在内．

8．判断函数的奇偶性时，一定是先看定义域、再变形，最后f(x)=f(x)是否成立．

9．对于区间(a,b)要注意a<b的限定．

10．对于求函数解析式时要注意定义域．

必修二

1．求异面直线所成的角时，要注意角的范围．

2．求二面角时,要先看图中是否有二面角的平面角,求线面角和线线角是时,线线角或线面角同理.

3．截距的取值范围为R，所以当直线的截距相等时，应考虑到截距为0的情形．

4．用直线yy0=k(xx0)和y=kx+b参与解题时，要注意对k不存在的情形进行讨论．

5．两条直线重合时,是对应系数成比例,而不是对应系数相等.

6．应用直线方程时或判断两直线的位置关系时，要注意考虑特殊情形，否则会丢解.

必修三

1．流程图的判断框中，填n≥N还是n>N,要进行特殊验证选择．

2．两个数的中位数是其和的一半．

3．用古典概率公式求概率时，要注意分子与分母取数的一致，顺序一致．

必修四

1．若干个数的和差做对数的真数和三角函数的自变量时，一定要加上括号，如lg(x+1)、cos(x21)等．

2．周期中x＋T、平移中x+h，y+k，是对于单一x而言的，如有系数应提出来．

3．在三角函数中，凡含有2k、k时一定要加kZ．

4．由三角函数求角时，要注意并书写角的范围，否则要加k或2k．

5．研究向量时，要注意零向量；(x,y)种书写是不正确的．

6．向量垂直是对非零向量而言的．

7．研究向量的夹角时，向量的起点必须重合．

必修五

1．用正弦定理解三角形时，当所求角小于锐角时，一般有一解；大于锐角时，一般有两解；等于直角时，一般有一解．

2．对于锐角三角形，你能想到什么？角平分线呢？

3．已知数列的前n项和Sn,用an=SnSn1求通项公式时,一定要注意对a1是否包含在通项公式中进行验证．

4．在等比数列{an}中，an与q均不为零．且奇数项同号，偶数项同号．

5．≥0；≤0．

6．不等式中，连续应用若干次“≤”或“≥”求最值时，一定要注意各等号成立的条件是相同的，否则不能取到最值．

7．用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”．

选修部分

1．直线与二次曲线相交时，一定要考虑>0这个条件。

2．方程 + = 1中包括圆的方程，讨论时要注意a=b的情形.

3．解与圆、椭圆、双曲线和抛物线上点有关问题时，要注意曲线自身的范围.

4．f(x)在D上是单调增(减)函数，则xD时，f(x)≥0(≤0)，对于常函数要除去．

5．以P为切点的切线与过P的切线是不同的，前者包含于后者中．

6．f(x0)=0的x0不一定是极值点，如x0左右两侧f(x)同号，则x0不一定是极值点，如果f(x)在x0处连续，则单调区间要连写.

7．证明函数在区间D上具有单调性，只能用单调函数的定义或导数．

8．用导数研究单调性、极值、最值和解决实际问题时，一定要注意定义域．

9．用数学归纳法证题时，必有用归纳假设，否则就不是数学归纳法．

10．排列组合中,在同类中取出的元素无顺序,则不要先取了几个元素后,再从剩余的元素中取,这样会产生顺序.如C·C=A，在不同类中分开取不会出现上述情形.

总　论

1. 当含有字母的因式做分母时，要对其是否等于0进行讨论。如：等比数列中，应用Sn=解题时，要对q=1进行讨论．

2．做完题后一定要反回来看一下,是否进行了小结，看是否有没用的条件,是否有明显错误（移值错误，单位，计算按要求，数学谬论等）。特别是有多于两个的解时,要注意考虑是否有增根,进行检验.

3．解数学题时,要注意一致性.如单位的一致,角度的一致等.

4．求最值时，一定要说明在什么条件下取得最值，并看取得最值时自变量是否在所要求的范围内．

5．在解方程或恒等变形过程中，一定不要在等式两边随便约去或同乘一个含未知数的因式，这样可能产生丢根或增根.

6.书写步骤时,对于题中没有的字母,辅助线和解题时要用到的参数,一定要先设再用.

7．分类讨论要注意：不重不漏，最后要归纳小结．

8．解题步骤:

(1)解或证明,建系、设点、作辅助线、设参数;

(2)语言叙述(解释下列式子的来源)，

  数学式子．

  语言叙述(解释下列式子的来源)，

  数学式子．

  …………

  语言叙述(解释下列式子的来源)，

  数学式子．

(3)答或小结．

知识提要

一、集合与简易逻辑

1. 研究集合时要注意元素的互异性.
2. 子集问题

(1)注意空集与全集；

(2)集合的元素为离散型时，求参数的值，常用韦恩图或用韦达定理和判别式;

(3)集合的元素为连续型时，求参数的取值范围，借助数轴用不等式，但要注意端点值特殊讨论.

3. 求集合的交、并、补时，要注意应用图形．
4. 正难则反思想：如反证法、CU(CUA)=A，对立事件．
5. 否命题与命题的否定(即非P)的不同：否命题既否定结论，又否定条件，命题的否定只否定结论.
6. 否定性语气通常要通过等价命题来解决.
7. 充要条件的判定：
   ①定义；②集合；③等价命题(根的分布求得为充要条件).
8. 利用集合的交、并、补或子集求参数时，要注意什么？
9. 通过复合命题真假求参数的取值范围时，要注意什么？

二、函数

12 定义域优先：①题中给定的范围；②自身范围；③新产生的函数，如分母、根号等的范围.

3. 对二次函数、一元二次不等式、二次方程，当二次项系数含有字母时，要对其是否为0进行讨论．
4. 二次函数在区间[a,b]上的最值，一定在区间的端点与二次函数的顶点处取得.
5. 二次函数含有参数,在区间[a,b]上的最值:
       ①一般要配方讨论.②端点与顶点取得.
6. 在区间[a,b]上恒成立问题:

①通过分离变量，转化为最值处理；
②用二次函数根的分布来解决或用导数求最值;

③数形结合.

7. 在区间[a,b]上a=f(x)有解，通过分离变量，转化为a在f(x)的值域范围内或用二次函数根的分布来解决.
8. a≤f(x)a≤f(x)min，a≥f(x)a≥f(x)max．对于a>f(x)或a<f(x)恒成立问题，如果f(x)<m或f(x)>m，则a的取值范围是a≥m或a≤m．
9. a≤f(x)或a≥f(x)能成立，如何处理？
10. ax2+bx+c>0(或<0)对xR恒成立时，用<0与a综合考虑.
11. 二次函数的根的三种情形：①根在全体实数范围内；②正根或负根；③根限定在小范围(除正根,负根,全体实数外)如何处理？
12. 函数或不等式中含有两个变量，已知一个变量的范围，求另一个变量的范围时，常把有范围的变量作为主变量.
13. 函数奇偶性：
        (1)判定：①定义域；②化简；③判定f(x)=f(x);④结论.
        (2)奇函数f(0)如果存在，则f(0)=0;奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，但在R上不一定具有单调性．
        (3)偶函数f(x)：f(x)=f(x)=f(|x|)，有时常用f(1)=f(1)等特殊值计算．
14. 比较大小：①作差；②作商；③单调性；④与同一个数比较；⑤图象法．.
15. 抽象函数式的处理：

①想具有这种性质的特殊函数；

②抽象函数性质

若f(x)=f(x2a)f(xa)=f(x+a),f(x+a)=－f(x),f(x+a)=, f(x+a)=－,则f(x)周期2a;

若f(x)=f(2ax)f(a+x)=f(ax)，则f(x)的图像关于x=a对称；

若f(2ax) =－f(x)，则f(x)的图像关于(a,0)对称.

16. 奇偶性、对称与周期，只要具备两个，第三个一般也成立.
17. 抽象函数不等式，利用单调性去函数号
18. 求函数值域的方法:

①单调性;②导数;③不等式;④变量替换;⑤数形结合.并注意定义域：

技巧：(1)尽量转化为一个变量；
    (2)最好以角作变量,角作变量时，sin,cos自身有范围；
    (3)非常规函数的性质可以考虑用导数；

19. 指数函数与对数函数的性质，可以利用图象.
20. 指数函数与对数函数底数不定，要分a>1或0<a<1讨论．
21. 抽象函数的单调性，用函数单调性的定义证明．
22. 函数y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象会作吗？函数y=|x|、y=x3、y=x+(a>0)、y=的图象记住了吗？

三、导数与积分

1. 求导数时，要对原式进行适当变形．
2. 极值不可能在区间的端点处取得．
3. 过点的切线与在这点处的切线是不同的．
4. 证明函数在区间D上且有单调性，只能用单调函数的定义与导数．一般导数比定义更简单．用作差法证明函数单调性时，因式分解到不能再分解为止，且各因式的正负是明显的．
5. 过一点的切线条数问题，可设切点写出切线方程，转化成方程有相应根的问题．
6. f(x)dx=f(x)dx．
7. 曲线在某点处的切线与过这点的切线是不同的．
8. 用导数求函数的单调区间方法：
       (1)求导数f (x),解不等式式f (x)>0(或<0)即可(不含参数).
       (2)求导数f (x),令f (x)＝0,然后判定f (x)＝0的根的两侧的导数正负(含参数)．
9. 若f(x)为增函数，则f (x)≥0, 若f(x)为减函数，则f (x)≤0．
10. 非常规函数的单调性，可考虑用导数处理.
11. 若f (x0)＝0的两侧导数同号，则单调区间要连写．
12. 最值：唯一极值点,一定是最值点．最值一定在区间的端点与f (x)=0的解处取得
13. 三次函数y=ax3+bx2+cx+d图象：当a>0时，图象如何变化？a<0呢？
14. 奇函数的导数为偶函数,偶函数的导数为奇函数.
15. 证明单调性只能用定义或导数(抽象函数一般用定义)．
16. 用导数证明不等式：
    法一，①构造函数；②研究单调性；③找零点值；④结论

法二，转化成最小值大于0或最大值小于0；
法三，数形结合．

四、三角函数

1. k+的几何意义：以为始边,每次转角.
2. 齐次式：包括显形、隐形与变形，分子分母同除cos或cos2转化为tan或tan2.
3. 诱导公式变用：如sin(45+)=cos(45),sin(30＋)=cos(60).
4. 同角、同名、同次的应用.
5. 特殊三角函数值的记忆：看图象.
6. 角的拆变：①整体应用已知复合角；②减少角.
7. 降幂公式、和差与积的公式的应用.
8. 辅助角公式：系数比为:1；1:，1:1时，可化成特殊角.
9. 运算技巧：①去根号：=;=,=．②平方相加；③整体思想；④分母简单.
10. 角的范围：①已知条件中范围；②给定函数值；③代入已知验证.
11. 图象与性质：

①图象用五点法或平移伸缩变换；
②图象、单调性与最值要把x+看成整体处理；
③图象、对称、周期与单调要化成同名同角一次函数，最值要化为同名同角即可；④对称轴：对称轴处取得最值或与对称轴等距离的函数值相等．

12. 三角函数中求角时，如果角有范围(显形或隐形)，要先写出角的范围，再写角；如果角没有限定范围，要加2k或k,并注意kZ．
13. 判定三角形形状方法：化边(思路简单運算大);化角(思路难運算小)．
14. 用正弦定理的解的个数：小于锐角，有一解；大小锐角一般有两解.
15. 看到三角形想到：①内角和180，②正余弦定理，面积公式，③大边对大角，两边之和大于第三边，④平面几何知识．
16. 三角形面积公式：S＝ah=absinC==rp=．
17. 用余弦定理解出两个边都为正值，有时也要检验是否符合条件(两边之和大于第三边).
18. 解三角形问题时，对于给定的关系式，要么化边，要么化角．
19. 锐角三角形中，sinA与cosB,sinA与cosC,sinB与cosC的关系如何？
20. 三角公式的变形：(sincos)2=1sincos，1+tan2=，

    tantan=tan()(1tantan)，sin2=,cos2=．

五、向量

1. 向量问题有两种处理方法：

①几何法(三角形法则、平行四边形法则等)；②代数法(即坐标运算).

2. 角度任意．单位向量 .
3. 平行：①=(≠);②＝＝.
4. 垂直(对非零向量而言)：①=0;②x1x2+y1y2+z1z2=0．
5. 向量夹角：起点相同，范围：0≤≤190．
6. 向量的中点公式记住了吗？三角形的重心坐标公式呢？
7. 向量模的处理方法是什么？

①平方；②平面几何知识．

8. 用向量夹角公式时， cos<0中包含＝，cos>0中包含＝0．
9. 什么情况下，可通过建立坐标系，用坐标进行向量计算或证明？
10. 已知向量的几何关系式，如何进行变形，变形的目的是什么？

六、解析几何

1. 解决直线问题，要注意倾角为90的情形.
2. 应用直线方程的四种形式时，注意特殊情况.
3. 应用已知条件减少参数.
4. 研究直线位置关系时，要注意特殊情形.
5. 直线方程中如果x、y的系数含有参数，则直线一般过定点.
6. 研究解析几何(特别是直线与圆)的问题时，要注意平面几何的应用．
7. 看到角平分线，应该想到什么？
8. 圆的最值问题：代数方法：参数法，几何方法：转化为圆心到点或线的距离问题，或直线的斜率、截距问题．
9. 求圆方程时，要注意标准式与一般式的区别应用.椭圆、双曲线是否有的类似呢？
10. 点圆、线圆、圆圆位置关系，尽量用平面几何方法.
11. 直线系与圆系，在有些情况下应用会很简单.
12. 在线性规划下的几何意义：点到点距离；点到线距离；斜率；截距.
13. 离心率问题要转化为什么的关系来解决？
14. 直线与二次曲线相交时，要注意什么？
15. 设而不求的思想会用了吗？
16. OPOQx1x2+y1y2=0．
17. y=kx+b与x=my+a会用了吗？
18. 已知坐标求角：先考虑向量夹角公式，其次是正切.
19. 有定义的元素(焦半径),应该考虑到定义.
20. 面积问题：①考虑公式；②注意对图形的分割、相减等手段.
21. 弦的中点问题，考虑“差分法”.
22. 斜直线上的比例问题，转化为坐标轴上的比例问题解决较简单.
23. 求轨迹时，要注意考虑限定条件：①直接语言；②隐形语言，特别是x2≥0等.
24. 圆、椭圆、双曲线与抛物线本身带有范围，要注意应用.
25. 出现不等式的方法：①判别式；②曲线自身范围.
26. 圆锥曲线的焦半径公式(主要是抛物线)、通径是否记住？抛物线焦点弦的两个结论呢？
27. 求曲线方程：①待定系数法；②直接法(注意定义法为特殊情形).

七、立体几何

1. 异面直线所成的角的范围(0,90]注意到了没有？是否为90呢？
2. 判定异面直线对数的方法：①逐步添加法；②找规律计算；③排列组合.
3. 证明线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的常用方法记住了吗？
4. 线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直有何用？
5.   直线与平面所成的角如何求，如果射影不好确定，是否有其它办法？(有)
6.   三角形或梯形一腰上的高如何求？(面积法)
7.   求线线角、线面角、二面角的方法为何？
8.   解决翻转问题时，要注意什么？
9.   柱体、锥体、台体表面上的最短距离问题如何处理？
10. 几何体中解决非最大截面问题时，注意什么？
11. 无限图形问题如何处理？
12. 体积比或面积比问题，处理时要注意什么？
13. 几何体体积的求法有哪些？
14. 立体几何中最重要的那个定理是什么，你会用吗？
15. 由旋转体与旋转体构成的内组合问题，一般如何处理？
16. 六组常用辅助线记得吗？

八、数列

1. 关于an与Sn关系式的处理：通过an=SnSn1转化为an与an1的递推关系式或转化为Sn与Sn1的递推关系式.

2. 等比数列中，q≠0，求和时，要注意q=1与q≠1两种情况.
3. 数列中n的限定必须使n≥1,如有n1(n≥2),有n2(n≥3)．
4. 等差数列与等比数列的三个重要性质：
       ①an=am+(nm)d，an=amqnm.②m+n=p+q,则am＋an＝ap+aq,l+k=m+n,则al·ak=am·an；③Sn,S2nSn,S3nS2n,…成等差数列或等比数列.
5. 数列求和常用三种方法：①分组求和；②裂项求和(由两数相乘倒数和问题)；③错位相减(由等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列)..
6. 等差数列与等比数列的充要条件：
       证等差数列: ①anan1=常数;  ②2an+1=an+an+2;  ③an=kn+b;  ④Sn=pn2+qn．
       证等比数列: ①=非零常数.②a2n=an1an+1.③an=abn．
7. 常用递推关系：①anan1=f(n),叠加；②=f(n),叠乘；③an+1=pan+q(p≠1)
   an+1＋A=p(an+A).
8. 一般的递推关系的处理：①适当变形成等差数列或等比数列:②数学归纳法.
9.   求最值的方法：①数列的单调性；②函数方法．
10.   a1,q,n,an,Sn或a1,d,n,an,Sn知三求二,常用待定系数法.
11.   什么时候利用对称性设等差数列、等比数列？
12.   等比数列的奇数项必须同号，偶数项必须同号．
13.   已知数列的递推关系，而求不出其通项公式，但要求较大的项或前n项和，常采用什么方法？

九、排列组合概率统计

1. 如果从一个集合中取出的元素无顺序，要一次取出，不能分开取．
2. 排列问题的四种类型：“在、不在、邻、不邻”会处理了吗？
3. 组合均匀分组时，何时除以组数的阶乘，搞清楚了没有？
4. 插板在什么情况下运用？
5. 概率为0的事件不一定是不可能事件．
6. 排列、组合公式中含有未知数时，要注意范围．
7. 对换座位：3人2种，4人9种，5人44种.
8. 排列组合混合题要先选（组合）后排．
9. 顺序一定的问题可考虑组合或相除．
10. 配对问题要注意成双取出．
11. 正难则反处理对立事件的概率，如至少等问题．
12. 解决概率问题，首先看是简单问题还是复杂问题：简单问题一般是等可能事件概率，再看有无顺序(有序又分小序A与大序Nm),并遵循两个原则；n重独立重复试验中发生k次,要看指定的k次(pk(1p)nk)还是未指定的k次(Cpk(1p)nk)．
13. 分布列的两条性质要注意把握和应用．
14. 二项分布的两个特征是什么？．
15. 二项分布中，k=0,1,2,…,n．P＝Cpk(1p)nk，E=np,D=npq．